3 Fibonacci-Polynome und Finoacci-artige Polynome

Eine Art, die Fibonacci-Zahlen zu verallgemeinern, ist es, überall noch ein x dazuzuschreiben. Auf diese Weise erhält man Polynome. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dieses x dazuzuschreiben. Durch die beiden wichtigsten erhält man die "Fibonacci-Polynome" und die "Fibonacci-artigen Polynome" (im englischen: fibonacci-type polynomials). Alles, was ich bisher geschrieben habe, kann man für diese Polynome verallgemeinern, die Formeln, die Teilungseigenschaften usw..

Ich werde in diesem Kapitel nur ganz wenig schreiben, zumal ich Schwierigkeiten hatte, an die Artikel, die diese Polynome behandeln, zu kommen.

3.1 Fibonacci-Polynome

3.1.1 Definition:
Die "Fibonacci-Polynome" sind die wie folgt definierten Polynome:

F0(x)=0,    F1(x)=1  und    Fn+1(x)=xFn(x)+Fn-1(x).

Fn(x) ist ein Polynom n-1. Grades. Die ersten Fibonacci-Polynome sind

F0(x)= 0
F1(x)= 1
F2(x)= x
F3(x)= x2+1
F4(x)= x3+2x
F5(x)= x4+3x2+1
F6(x)= x5+4x3+3x

Ähnlich wie die Formel von Binet für die Fibonacci-Zahlen gibt es auch eine explizite Formel für diese Fibonacci-Polynome, in der Multinomial-Koeffizienten vorkommen.

Analog zur Kettenbruchdarstellung von Fn/Fn+1 (1.5.21.) ist hier der n. Näherungsbruch zum Kettenbruch

\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\ldots}}}

genau Fn(x)/Fn+1(x).

Für die Teilungseigenschaften der Fibonacci-Polynome s. [Bicknell].

3.2 Fibonacci-artige Polynome

3.2.2 Definition:
Die "Fibonacci-artigen Polynome" sind die wie folgt definierten Polynome:

f0(x)=0,   f1(x)=1  und   fn+1(x)=x(fn(x)+fn-1(x)).

fn(x) ist ein Polynom n-1. Grades. Die ersten Fibonacci-artigen Polynome sind

fF0(x)= 0
fF1(x)= 1
fF2(x)= x
fF3(x)= x2+x
fF4(x)= x3+2x2
fF5(x)= x4+3x3+x2
fF6(x)= x5+4x4+3x3

Wie man sieht, sind die Koeffizienten der Fibonacci-artigen Polynome genau dieselben wie die der Fibonacci-Polynome. In der Tat zeigt man sehr leicht durch vollständige Induktion, daß für n>0 gilt:

Fn(x) = fn(x2)/xn-1.

Ähnlich wie in 1.5.20. gilt diesmal:

\sum_{k=0}^\infty F_k(a)x^k=\frac{x}{1-ax-ax^2} .

Die Fibonacci-artigen Polynome kann man wie folgt verallgemeinern. Durch

eine komplizierte Rekursionsformeln mit ziemlich vielen Indices.

werden die sog. "multi-varianten Fibonacci-artigen Polynome" definiert. Diese haben folgende Anwendung: In n Zufallsversuchen, die man sich in einer (kreisförmig) geschlossenen Kette angeordnet denke, und die mit einer Wahrscheinlichkeit von p erfolgreich ausgehen, suche man die längste Kette von Erfolgsereignissen. Diese bestehe aus s Erfolgen. Die Verteilungsfunktion für dieses s läßt sich mit Hilfe der multi-varianten Fibonacci-artigen Polynome darstellen.

by Michael Becker, 5/2003. Letzte Änderung: 5/2003.