Hyperbolische Formelsammlung

Die Formeln für die Dreiecke, die Vierecke mit drei rechten Winkeln, für die Fünfecke mit fünf, und die Sechsecke mit sechs rechten Winkeln stammen aus der sehr praktischen Formelsammlung im Anhang von [Buser]. Die anderen habe ich selber ausgerechnet. Garantie gibt es natürlich keine.

Erwähnen muß ich auch noch, daß es rechtwinklige Sechsecke gibt, bei denen sich Seiten überschneiden. Bei diesen tauchen in der Identität, aus der die Formeln kommen, statt den $R_{\pi/2}$ die Abbildungen $R_{-\pi/2}$ auf.

Bemerkungen zur sphärischen Trigonometrie

Im folgenden bringe ich ausschließlich Formeln zur hyperbolischen Geometrie. Prinzipiell kann man diese Formeln auch in der sphärischen Trigonometrie verwenden, wenn man, wie erwähnt cosh durch cos und sinh durch sin ersetzt. Allerdings existieren in der sphärischen Geometrie keine Fünfecke mit fünf und keine Sechsecke mit sechs rechten Winkeln. Die nur in der sphärischen Geometrie auftretenden Dreiecke mit zwei rechten Winkeln werden dem Leser als leichte Übung überlassen.

Allgemeine Dreiecke

allgemeines Dreieck

(a)
sinh a sinh b  sinh c
--------- = --------- = ---------
sin alpha  sin beta  sin gamma
(b)
cosh c = - sinh a sinh b cos gamma + cosh a cosh b
(c)
cos gamma = sin alpha sin beta cosh c - cos alpha cos beta

Rechtwinklige Dreiecke

rechtwinkliges Dreieck

(a)
cosh c = cosh a cosh b
(b)
cosh c = cot alpha cot beta
(c)
sinh a = sin alpha sinh c
(d)
sinh a = cot beta tanh b
(e)
cos alpha = cosh a sin beta
(f)
cos alpha = tanh b coth c

Vierecke mit zwei rechten Winkeln (1)

Viereck mit 2 rechten Winkeln (1)

(a)
sinh a sin b  sin c
--------- = --------- = ---------
sin alpha  sin beta  sin gamma
(b)
cosh a = -sinh alpha sin b sin c + cos b cos c
(c)
cosh alpha = cosh a cosh beta cosh gamma - sinh beta sinh gamma

Vierecke mit zwei rechten Winkeln (2)

Viereck mit 2 rechten Winkeln (2)

(a)
sinh c cosh a  cosh b
--------- = --------- = ---------
sinh gamma  cosh alpha  cosh beta
(b)
cos c = -cos gamma cosh a cosh b + sinh a sinh b

Vierecke mit drei rechten Winkeln

Viereck mit drei rechten Winkeln

(a)
cos c = sinh a sinh b
(b)
cos c = tanh alpha tanh beta
(c)
cosh a = cosh alpha sin c
(d)
cosh a = tanh beta coth b
(e)
sinh alpha = sinh a cosh beta
(f)
sinh alpha = coth b cot c

Fünfecke mit vier rechten Winkeln

Fünfeck mit vier rechten Winkeln

(a)
sinh c cosh a  cosh b
--------- = --------- = ---------
sin gamma  sinh alpha  sinh beta
(b)
cosh c = - cosh a cosh b cos gamma + sinh a sinh b
(c)
cos gamma = sinh alpha sinh beta cosh c - cosh alpha cosh beta

Fünfecke mit fünf rechten Winkeln

Fünfeck mit 5 rechten Winkeln

(a)
cosh c = sinh a sinh b
(b)
cosh c = coth alpha coth beta

Sechsecke mit sechs rechten Winkeln

Sechseck mit 6 rechten Winkeln

(a)
sinh a sinh b  sinh c
--------- = --------- = ---------
sinh alpha  sinh beta  sinh gamma
(b)
cosh c = sinh a sinh b cosh gamma - cosh a cosh b
by Michael Becker, 5/2003. Letzte Änderung: 5/2003.