3 Eigenschaften der Julia-Menge

3.1 Orbits

Bevor wir zu den beiden Hauptergebnissen dieses Kapitels kommen, müssen wir uns erst mal noch weiter mit invarianten Mengen beschäftigen.

Es sei wieder g:X-->X eine Abbildung, und x in X. Wie sieht die kleinste invariante Menge aus, die x enthält? Nun, offensichtlich muß sie alle Bilder von x und alle deren Urbilder enthalten. Dies führt zu folgender Definition:

3.1.1 Satz und Definition:
g:X-->X sei eine Funktion. Durch

x\sim y \Leftrightarrow \exists n,m\in N: g^n(x)=g^m(y)

wird eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse [x] von x heißt Orbit von x.

Beweis:
Symmetrie und Reflexivität der Relation sind sofort klar. Bleibt nur noch die Transitivität:

gn(x)=gm(y) und gp(x)=gq(z)   ==>   gn+p(x)=gm+q(z).

Aus der Beobachtung, daß die Vereinigung und der Schnitt von invarianten Teilmengen abermals invariant ist, folgt, daß es eine kleinste invariante Teilmenge gibt, die x enthält.

3.1.2 Proposition:
Es sei g:X-->X surjektiv. Dann ist [x] die kleinste invariante Teilmenge von X, die x enthält.
Beweis:
Die kleinste invariante Teilmenge <x>, die x enthält, enthält sicher alle seine Bilder und alle deren Urbilder. Ist deshalb gm(y)=gn(x) und damit y in g-m(gn(x)), so ist auch y in <x>. Also ist [x] eine Teilmenge von <x>.

Andererseits überlegt man sich leicht, daß [x] invariant unter g ist. Wegen der Minimalitätseigenschaft von <x> ist dann auch <x> Teilmenge von [x].

3.1.3 Lemma:
Ist R eine rationale Abbildung von Grad >=2, und ist [x] endlich, dann enthält [x] höchstens zwei Elemente.
Beweis:
Die Anzahl der Elemente von [x] sei k. Da R die Elemente von [x] permutiert, gibt es ein n in IN mit Rn|[x]=id[x]. Rn habe den Grad d. Für w in [x] hat die Gleichung Rn(z)=w genau d Lösungen (gezählt mit Mulitplizität). Alle diese Lösungen müssen w selber sein: w ist eine d-fache w-Stelle von Rn. Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.6) angewandt auf Rn gilt dann: k(d-1)<=2d-2. Wegen d>=2 folgt k<=2.

3.2 Ausnahmepunkte

3.2.4 Definition:
R sei eine rationale Funktion. Ein Punkt z heißt Ausnahmepunkt für R, falls sein Orbit [x] endlich ist. Die Menge der Ausnahmepunkte bezeichnen wir mit E(R) ("E" für "exzeptionell").
3.2.5 Satz:
Eine rationale Abbildung R vom Grad >=2 hat höchsten zwei Ausnahmepunkte. Und zwar gilt:
(1)
Ist E(R)={z}, so ist R konjugiert zu einem Polynom, und z korrespondiert mit dem Punkt $\infty$.
(2)
Ist E(R)={z1,z2}, so ist R konjugiert zu einer Abbildung z-->zd (d in Z), und z1 und z2 korrespondieren mit den Punkten 0 und $\infty$.
Beweis:
Nach einer geeigneten Konjugation können wir wegen Lemma 3.1.3. einen der vier folgenden Fälle für E(R) annehmen:
(a)
Ist E(R) leer, so ist nichts zu zeigen.
(b)
E(R) besteht nur aus dem Punkt $\infty$, d.h. insbesondere R-1($\infty$)={$\infty$}, d.h. R hat keine Pole in C und ist damit ein Polynom.
(c)
E(R) enthält (mindestens) zwei Punkte 0 und $\infty$, deren Orbits nur aus einem Punkt bestehen. Dann ist R ebenfalls ein Polynom, und zwar mit einer Nullstelle maximalen Grades bei 0. Deshalb hat es die Form z-->zd (d>=1). Diese Abbildungen besitzen keine weiteren Ausnahmepunkte.
(d)
E(R) enthält (mindestens) zwei Punkte 0 und $\infty$, die einen gemeinsamen Orbit aus zwei Punkten haben. In diesem Fall ist R(0)=$\infty$ und R($\infty$)=0 und beide Stellen sind von maximaler Multiplizität. Deshalb hat R die Form z-->zd (d<=-1). Diese Funktionen besitzen keine weiteren Ausnahmepunkte.

Es folgt sofort:

3.2.6 Korollar:
Ausnahmepunkte liegen in der Fatou-Menge.

3.3 Unendlichkeit der Julia-Menge

3.3.7 Satz:
R sei eine rationale Abbildung von Grad >=2. Dann ist J(R) eine unendliche Menge.
Beweis:
Wäre J leer, so wäre {Rn} normal. Nach Satz 2.1.4. können wir eine gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen. Diese würde gegen eine auf ${\bf\hat
C}$ meromorphe und damit rationale Funktion konvergieren. Das bedeutet, daß fast alle Rn denselben Grad haben müßten, nämlich den der Grenzfunktion. (Genauer?) Wegen deg(Rn)=n·deg(R) folgt, daß R den Grad 1 hat. Ein Widerspruch.

J enthält also einen Punkt z, und damit auch seinen Orbit [z]. Wäre J endlich, so wäre z ein Ausnahmepunkt. Aber Ausnahmepunkte liegen in der Fatou-Menge (Korollar 3.2.6.). Also muß J unendlich sein.

3.4 Minimalität der Julia-Menge

Bisher gab es nur einige Spielereien. Dies hier dagegen ist eine der ganz zentralen Aussagen in der Theorie der Julia-Mengen, die uns den ganzen Rest des Texten ständig begleiten wird.

3.4.8 Satz (Minimalität der Julia-Menge)
R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2, E sei eine abgeschlossene, invariante Teilmenge von ${\bf\hat C}$. Dann gilt eine der beiden folgenden Aussagen:
(1)
E hat höchstens zwei Elemente und es ist E\subsetF(R).
(2)
E hat unendlich viele Elemente und es ist J(R)\subsetE.

Anders ausgedrückt: J(R) ist die kleinste abgeschlossene, invariante Menge, die mindestens 3 Punkte enthält.

Beweis:
Ist E endlich, so enthält es nur Ausnahmepunkte und die Behauptung folgt aus Satz 3.2.5. und Korollar 3.2.6..

Nun habe E unendlich viele Elemente. Mit E ist auch sein Komplement K invariant. Wählen wir drei Punkte a,b,c in E, so werden diese von den Funktionen Rn auf K nicht als Funktionswerte angenommen. Nach dem Satz von Montel (2.1.5)) ist {Rn} normal auf K. Also ist K eine Teilmenge von F und damit J eine Teilmenge von E.

3.4.9 Korollar:
Es gilt entweder J=${\bf\hat
C}$, oder J° ist leer. (J hat kein Inneres.)
Beweis:
Da J invariant ist, sind es auch J° und $\partial$J. Ist F nicht leer, dann ist F\cup$\partial$J unendlich, invariant und abgeschlossen. Es folgt J\subset F\cup$\partial$J und damit J\subset $\partial$J

Funktionen, deren Julia-Menge ganz ${\bf\hat C}$ ist, gibt es. Wir werden uns ganz kurz in Abschnitt 3.7 mit ihnen beschäftigen.

3.4.10 Korollar:
J ist eine perfekte Menge, d.h. sie ist unendlich, und jeder Punkt in J ist Häufungspunkt von Punkten von J. (Es gibt also keine isolierten Punkte.)
Beweis:
J0 sei die Menge der Häufungspunkte. Da J unendlich viele Punkte enthält, und ${\bf\hat C}$ kompakt ist, ist J0 nicht leer. J0 ist nach Definition abgeschlossen. Da R stetig ist, gilt R(J0) \subsetJ0. und damit J0\subsetR-1(J0). Wegen der Gebietstreue von R ist auch R-1(J0)\subsetJ0. J0 ist also invariant.

Wegen Satz 3.4.8 ist damit J\subsetJ0. Damit sind die beiden Mengen gleich.

3.4.11 Korollar:
Ist z kein Ausnahmepunkt, so ist J im Abschluß von [z] enthalten. Ist z in J, so sind diese beiden Mengen sogar gleich.
Beweis:
Ist sehr einfach und wird dem Leser überlassen.
3.4.12 Bemerkung:
Es ist nicht allzu schwierig, sogar noch mehr zu zeigen: Ist z kein Ausnahmepunkt, so ist die Julia-Menge genau die Menge, gegen die sich der Rückwärts-Orbit von z (d.h. die Menge aller Urbilder R-n(z)) häuft.

Dies macht man sich häufig in Programmen zunutze, indem man, um die Julia-Menge zu finden, einfach rückwärts iteriert. Es gibt bei diesem Verfahren jedoch Probleme: Oft gibt es Stellen in der Julia-Menge, in dessen Nähe die Rückwärtsorbits äußerst spärlich sind.

3.4.13 Übung:
Man zeige, daß die Julia-Menge von f(z)=z2-2 genau das reelle Intervall [-2;2] ist. (Anleitung: Zunächst zeige man, daß [-2;2] invariant unter f ist. Aus wievielen Komponenten besteht deshalb die Fatou-Menge? Man schließe, daß die fn auf F kompakt gleichmäßig gegen $\infty$ konvergieren. Was folgt daraus für Punkte im Intervall [-2;2]?)
3.4.14 Übung:
f sei ein Produkt von Automorphismen der Einheitskreisscheibe. Man zeige, daß die Julia-Menge von f eine Teilmenge des Einheitskreises ist. Ist, falls f ein Produkt von mindestens zwei Automorphismen ist, die Julia-Menge immer der ganze Einheitskreis?
3.4.15 Übung:
p sei ein Polynom mit nur reellen Nullstellen. Man zeige, daß die Julia-Menge der Funktion f(z)=p'(z)/p(z), also der logarithmischen Ableitung von p, reell ist.

3.5 Periodische Punkte

3.5.16 Definition:
f sei eine Abbildung einer Menge X in sich. x in X heißt periodischer Punkt von f, falls es ein n in IN gibt, so daß x Fixpunkt von fn ist.
3.5.17 Satz:
R sei eine rationale Funktion mit Grad >=2. Dann ist J(R) im Abschluß der Menge der periodischen Punkte von R enthalten. Insbesondere hat jedes R unendlich viele periodische Punkte.
Beweis:
Zu zeigen ist, daß jede offene Menge N, die J trifft, periodische Punkte enthält. Wähle einen Punkt w0 in J $\capN, der kein kritischer Punkt von R2 ist. Wegen deg(R)>=2 gibt es mindestens 4 verschiedene Punkte in R-2(w0), und darunter mindestens 3 Punkte w1, w2, w3 verschieden von w0 selber. Man nehme nun Umgebungen Ni von wi mit disjunktem Abschluß, so daß N0\subsetN, und so daß R2:Ni-->N0 für i>1 homöomorph ist. Si:N0-->Ni sei das Inverse von R2 auf Ni

Gäbe es in N0 ein z mit Rn(z)=Sj(z) für ein n und ein j in {1,2,3}, so wäre Rn+2(z)=z und z wäre periodisch. Wir zeigen nun, daß, wenn dies nicht der Fall ist, die Rn normal auf N0 sein müssen, was ein Widerspruch wäre.

Wir nehmen also an, daß stets Rn(z)<>Sj(z) gilt, und definieren zu jedem z in N0 die Möbiustransformation gz mit gz(0)=S1(z), gz(1)=S2(z) und gz($\infty$)=S3(z). Da die Mengen N1, N2, N3 positiven Abstand voneinander haben, erfüllen alle diese gz nach Satz 1.3.2. eine gemeinsame Lipschitz-Bedingung. Die Funktionenfamilie (Rn) ist also genau dann normal, wenn (gz-1Rn) normal ist. Letztere Funktionenfamilie nimmt aber nun die Werte 0, 1 und $\infty$ nicht mehr an und ist nach dem (Satz von Montel (2.1.5)) normal.

3.6 Die Julia-Menge kommutierender Abbildungen

3.6.18 Satz:
Die Julia- und Fatou-Mengen von kommutierenden rationalen Abbildungen mit Graden >=2 sind identisch.
Beweis:
R und S seien die beiden Abbildungen mit RS=SR. M sei eine Lipschitz-Konstante von S bzgl. der sphärischen Metrik: ds(S(z), S(w))<=M·ds(z,w).

Nun sei w in F(R). Nach Definition von F(R) gibt es zu \epsilon>0 ein $\delta>0 mit diam(Rn(B(w,$\delta)))< \epsilon/M, wobei B(w,$\delta) der $\delta-Ball (bzgl. ds) um w ist.

Da R und S kommutieren, folgt:

diam(RnS(B(w,$\delta)))= diam(SRn(B(w,$\delta)))<= M·diam(Rn(B(w,$\delta)))< \epsilon

Also ist die Familie (Rn) normal auf S(B(w,$\delta)). Insbesondere ist S(w) in F(R). S und damit jedes Sm bilden also F(R) in sich ab. Wegen dem Satz von Montel (2.1.5) ist (Sn) deshalb normal auf F(R). Es folgt: F(R)\subsetF(S).

Ebenso folgert man F(S)\subsetF(R).

3.6.19 Übung:
Man zeige, daß die Abbildungen z-->2z und z-->z/2 kommutieren, aber unterschiedliche Julia-Mengen haben.
3.6.20 Übung:
Man zeige, daß die Abbildungen P(z)=z(1+z2) und Q(z)=-P(z) dieselbe Julia-Menge haben, aber nicht konjugiert sind.

Julia-Menge von z(1+z^2)

Julia-Menge von z(1+z2) auf [-1,5;1,5]x[-1,5;1,5]

3.7 Funktionen mit leerer Fatou-Menge

Die ersten Beispiele von Funktionen mit leerer Fatou-Menge wurden 1918 mit Hilfe von Funktionalgleichungen von elliptischen Funktionen gefunden. Ich bringe hier nur ein Ergebnis, welches man in der Praxis gut verwenden kann, allerdings ohne Beweis.

3.7.21 Definition:
Ein kritischer Punkt einer rationalen Funktion R heißt präperiodisch, falls eines seiner Bilder unter Rn periodisch ist, er selber aber nicht.
3.7.22 Satz:
Ist jeder kritische Punkt einer rationalen Abbildung präperiodisch, dann gilt J=${\bf\hat C}$.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht.

3.7.23 Beispiel:
Die Funktion f(z)=1-2/z2 hat einen kritischen Punkt $\infty$. Der Vorwärts-Orbit ist $\infty$-->1-->-1-->-1. Damit ist $\infty$ präperiodisch, und J=${\bf\hat C}$.
by Michael Becker, 7/2003. Letzte Änderung: 8/2003.