7 Kritische Punkte

Dieses Kapitel schließt an das Kapitel über periodische Punkte an, aber die Klassifikation von vorwärts-invarianten Komponenten der Fatou-Menge ist hier ganz praktisch. Deshalb wird es nachgereicht. So überraschend es scheint: Mit Hilfe der kritischen Punkte einer Funktion kann man am ehesten Voraussagen über das tatsächliche Aussehen von Julia- und Fatou-Mengen machen. Der Grund liegt grob gesprochen darin, daß fast alle Arten von vorwärts-invarianten Komponenten der Fatou-Menge die Existenz von kritischen Punkten nach sich ziehen.

7.1 Kritische Punkte und periodische Gebiete

7.1.1 Definition:
Ein Punkt heißt kritischer Punkt einer meromorphen Abbildung R, falls R in keiner Umgebung des Punktes injektiv ist.

Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.6) hat eine rationale Abbildung vom Grad d höchstens 2d-2 kritische Punkte.

7.1.2 Definition:
R sei eine rationale Abbildung.
(a)
Das Becken eines anziehenden Zykels (z1,...,zn) ist die Vereinigung derjenigen Komponenten von F(R), die ein zi enthalten.
(b)
Ein Becken eines rational indifferenten Zykels ist eine Vereinigung von Blütenblättern (s. Satz 5.4.12.) des Zykels, die aufeinander abgebildet werden.
(c)
Ein Becken eines irrational indifferenten Zykels ist die Vereinigung von Siegel-Kreisscheiben, oder von Herman-Ringen, die aufeinander abgebildet werden.

Ein rational indifferenter Zykel kann also durchaus mehrere Becken haben. Ein irrational indifferenter Zykel braucht gar kein Becken zu haben, nämlich wenn er in der Julia-Menge liegt.

7.1.3 Satz:
R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2. Dann enthält jedes Becken eines anziehenden oder rational indifferenten Fixpunktes einen kritischen Punkt.
Beweis:(Skizze)
Es reicht, den Satz für Fixpunkte anstatt für Zykel zu zeigen, denn ist (Rn)'(z)=0, so muß eines der R'(z), R'(R(z)),..., R'(Rn-1(z)) Null sein.

F0 sei das Becken eines anziehenden Fixpunktes. Da J(R) aus mindestens drei Punkten besteht, ist die universelle Überlagerung von F0 die Kreisscheibe ID. Wir können die Überlagerung so wählen, daß 0 auf den Fixpunkt abgebildet wird. R läßt sich liften zu einer Abbildung S:ID-->ID.

Hat R nun keinen kritischen Punkt, so auch S nicht. Mit der Vorgabe S-1(0)=0 können dann lokale Inverse von S entlang von Wegen mit Anfangspunkt 0 holomorph fortgesetzt werden. Da ID einfach zusammenhängend. ist, wird auf diese Weise eine globale Inverse S-1 definiert. S muß also ein Automorphismus von ID sein. Daraus folgt, daß nicht |S'(0)|<1 sein kann.

Der rational indifferente Fall verlangt mehr Arbeit. Auch hier wird ein R ohne kritische Punkte geliftet zu einem Automorphismus S, der diesmal aber parabolisch sein wird. Alle Automorphismen von ID sind aber Isometrien bzgl. der hyperbolischen Metrik. Nun muß man nochmal ganz tief in den Beweis des Blütenblättersatzen einsteigen, um zu zeigen, daß für z in F0 gilt: lim dhyp(Rn(z),Rn+1(z))=0.

7.1.4 Korollar:
R sei eine rationale Abbildung vom Grad d>=2. Dann ist die Anzahl der anziehenden plus die Anzahl der rational indifferenten Zykel höchstens 2d-2.

Für irrational indifferente Punkte gilt eine solche Aussage sicher nicht, da wir bereits wissen, daß R als Rotation auf Siegel-Kreisscheiben oder Herman-Ringen operiert. Ohne Beweis gilt hier aber:

7.1.5 Satz:
C+(R) sei die Menge der Vorwärts-Bilder von kritischen Punkten einer rationalen Funktion R. G sei das Becken eines irrational indifferenten Zykels. Dann ist der Rand von G im Abschluß von C+(R) enthalten.

Anders ausgedrückt: Siegel-Kreisscheiben und Herman-Ringe enthalten zwar keine kritischen Punkte, sie werden aber von kritischen Punkten der Rn begrenzt.

7.2 Anwendungen

In diesem Abschnitt folgen einige Korollare zu den beiden Sätzen aus dem letzten Kapitel.

7.2.6 Korollar:
R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2. Dann ist jede vorwärts-invariante Komponente F0 von F(R) einfach, doppelt, oder unendlichfach zusammenhängend. Und doppelt zusammenhängend sind nur Herman-Ringe.
Beweis:
Wegen der Klassifikation von vorwärts-invarianten Komponenten (Satz 6.2.5.), müssen wir nur den Fall betrachten, daß F0 eine anziehende Komponente oder ein Blütenblatt ist, und endlich zusammenhängend ist. In allen anderen Fällen ist die Behauptung klar.

R:F0-->F0 ist eine m-blättrige Überlagerung. Ist k die Anzahl der kritischen Punkte von R in F0, so gilt nach der Formel von Riemann-Hurwitz (1.5.7): e(F0)+k=m·e(F0). Nach Satz 7.1.3. ist k positiv, und deshalb gilt: (m-1)e(F0)=k>0. Also ist m>1 und e(F0)=1, d.h. F0 ist einfach zusammenhängend.

7.2.7 Korollar:
Hat die Fatou-Menge F(R) einer rationalen Funktion vom Grad d>=2 zwei invariante Komponenten, so sind das auch die einzigen Komponenten von F(R).
Beweis:
F1 und F2 seien die beiden Komponenten. Die beiden können keine Siegel-Kreisscheiben oder Herman-Ringe sein, denn dann würde R als Bijektion auf ihnen operieren und hätte Grad 1.

Also sind F1 und F2 anziehend oder parabolisch. In beiden Fällen konvergieren die Iterierten von R gegen einen Fixpunkt zi. Nach Satz 4.2.2. sind F1 und F2 außerdem einfach zusammenhängend. Da jeder Punkt in Fi genau d Urbilder in Fi hat, muß nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7) R dann genau d-1 kritische Punkte in jedem der Fi haben. Da es aber insgesamt nur 2d-2 hat, liegen alle kritischen Punkte und alle ihre Vorwärts-Bilder in diesen beiden Komponenten und häufen sich nur bei den zi.

Hätte F(R) noch andere Komponenten, so hätte es nach dem (Satz über wandernde Gebiete (6.3.7)) auch periodische Komponenten verschieden von F1 und F2. Da wir aber nun wissen, wo die kritischen Punkte liegen, sehen wir mit Hilfe der Sätze aus dem letzten Abschnitt sofort, daß dies nicht möglich ist.

7.2.8 Korollar:
Ist jeder kritische Punkt einer rationalen Abbildung R präperiodisch, so ist F(R) leer. ("Präperiodisch" hieß: Ein Bild ist periodisch, der Punkt selber aber nicht. Definition 3.7.21.)
Beweis:
F(R) sei nicht leer. Nach dem (Satz über wandernde Gebiete (6.3.7)) enthält F(R) dann einen super-anziehenden, anziehenden, rational oder irrational indifferenten Zykel. Im ersten Fall gibt es einen periodischen kritischen Punkt. In allen anderen Fällen gibt es kritische Punkte mit unendlichem Vorwärts-Orbit.

7.3 Die Fatou-Menge von Polynomen und ihre Symmetrie-Gruppe

Im folgenden sei P ein Polynom vom Grad d>=2. Wir wissen schon, daß jede beschränkte Komponente von F(P) einfach zusammenhängend ist, und daß die unbeschränkte Komponente $F_\infty$ von F(P) entweder einfach oder unendlich zusammenhängend ist. (Satz 4.2.2.)

7.3.9 Satz:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
(a)
$F_\infty$ ist einfach zusammenhängend.
(b)
J(P) ist zusammenhängend.
(c)
Es gibt keine endlichen kritischen Punkte in $F_\infty$.
Beweis:
(a) und (b) sind äquivalent, da J(P) nach Satz 4.1.1 genau der Rand von $F_\infty$ ist. (Einfach zusammenhängend <==> der Rand besteht aus nur einer Komponente.)

Ist $F_\infty$ einfach zusammehängend, dann sagt die Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7), daß P genau d-1 kritische Punkte (gezählt mit Multiplizität) in $F_\infty$ hat. P kann also außer $\infty$ keinen weiteren kritischen Punkt in $F_\infty$ haben. (Also: (a) ==> (c).)

Andersherum sei D eine Kreisscheibe um $\infty$ mit P(D)\subsetD. Weiter sei Dn:=P-1(D). Die Dn schöpfen $F_\infty$ aus, und es ist Pn(Dn)\subsetD. Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7) gilt:

e(Dn)+(dn-1) =  dn·e(D) =  dn.

Also: e(Dn)=1. Dn ist also einfach zusammenhängend, und $F_\infty$ damit auch.

7.3.10 Übung:
Es sei P(z)=z2-1. Für ein w in F(P) bezeichne Fw die Komponente, in der w liegt. Zeige, daß F(P) aus unendlich vielen Komponenten besteht, und diese einfach zusammenhängend sind. Zeige weiter, daß P keine Siegel-Kreisscheiben hat, und daß $F_\infty$ und (F-1,F0) die einzigen periodischen Zykel sind. Schließe, daß jede beschränkte Komponente von F(P) für ein n von Pn auf F0 abgebildet wird.

Julia-Menge von z^2-1

Julia-Menge von z2-1 auf [-1,8;1,8]x[-1;1]

Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Frage, welche Symmetrien die Julia- Und Fatou-Menge von Polynomen haben.

7.3.11 Definition:
P sei ein Polynom. Die Symmetriegruppe S(P) von P ist die Menge der euklidischen Isometrien, die J(P) auf sich abbilden.

Inversionen sind hier also ausgenommen. Da Unendlich nicht in der Julia-Menge liegt, und diese nicht leer ist, kann die Symmetriegruppe keine Verschiebungen enthalten. Also ist S(P) eine Gruppe von Rotationen um einen Punkt z0.

Besteht S(P) aus unendlich vielen Elementen, so kann man sich leicht überlegen, daß die Bilder jedes Punktes unter S(P) dicht auf einem Kreis liegen müssen. Da J(P) abgeschlossen ist, muß dann J(P) die Vereinigung konzentrischer Kreise sein. Da aber J(P) der Rand einer einzigen Komponente $F_\infty$ ist, besteht J(P) in diesem Fall nur aus einem einzigen Kreis.

Nun sei also S(P) endlich. Wo liegt das gemeinsame Zentrum der Rotationen?

7.3.12 Definition:
Es sei P(z)= a0+...+ad-1zd-1+adzd mit d>=2 und ad<>0. Dann heißt

Z(P):=-ad-1/(dad)

das Zentroid von P.

7.3.13 Satz:
Es sei P ein Polynom. Dann sind die Elemente der Symmetriegruppe S(P) von P Rotationen um das Zentroid Z(P). Ist außerdem Z(P)=0 und hat P(z) die Form P(z)=zaP0(zb) (mit a<d und einem Polynom P0), so hat S(P) die Ordnung b.

(Wenn wir wissen wollen, wie die Symmetriegruppe ausieht, so bringen wir also zunächst via Konjugation das Zentroid in den Ursprung, und dann schauen wir uns an, welche Exponenten noch auftauchen. Vergleiche auch das Beispiel, das folgt.)

Der Beweis ist nichttrivial und erfolgt mit Hilfe von Greenschen Funktionen. Wir bemerken hier lediglich, daß, wenn w eine beliebige komplexe Zahl ist, das Zentroid der Schwerpunkt der Urbilder von w ist. Also: z1,...,zd seien die Urbilder. Dann ist P(z)=w+(z-z1)·...·(z-zd), und damit (z1+...+zd)/d=-ad-1/(dad).

7.3.14 Beispiel:
Es sei P(z)=z3-9z2+29z-3. Das Zentroid ist 3. Wir konjugieren mit g(z)=z-3 und erhalten (gPg-1)(z)=z(2+z2). Die Symmetriegruppe besteht also aus zwei Drehungen um den Punkt 3, und zwar der Identität und der Drehung um 180°.

Julia-Menge von z^4/(0,4z^12+z^8+0.635*z^4+0,001)

Julia-Menge von z4/(0,4z12+z8+0.635*z4+0,001) auf [-1,8;1,8]x[-1,8;1,8].
Die Funktion ist zwar kein Polynom, aber da sie nur von z4 abhängt, ist klar, daß ihr Symmetriegruppe aus mindestens 4 Drehungen bestehen muß.

7.4 Julia-Mengen, die Cantor-Mengen sind

In diesem Abschnitt werde ich ohne Beweis noch ein Kriterium dafür angeben, wann eine Julia-Menge eine Cantor-Menge ist. Zunächst jedoch: Was bedeutet hier "Cantor-Menge"?

7.4.15 Definition:
Eine Teilmenge E\subset${\bf\hat
C}$ heißt Cantor-Menge, falls sie nichtleer, abgeschlossen, perfekt und völlig unzusammenhängend ist. (Perfekt heißt, sie enthält keine isolierten Punkte. Völlig unzusammenhängend heißt, daß jede Zusammenhangskomponente nur aus einem einzigen Punkt besteht.)
7.4.16 Satz:
R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2, z0 sei ein anziehender Fixpunkt von R. Liegen dann alle kritischen Punkte von R im Becken von z0, so ist J(R) eine Cantor-Menge.

Der Beweis ist eigentlich gar nicht so schwierig. Aus dem bisher gesagten folgt relativ einfach, daß R nur einen Zykel haben kann, nämlich die Komponente mit dem Fixpunkt. Alle anderen Komponenten von F(R) werden irgendwann dorthinein abgebildet.

Nun nimmt man ein Kompaktum, das die Julia-Menge, aber weder den Fixpunkt, noch einen kritischen Punkt oder einen seiner Bilder enthält. Dann sieht man, daß dessen Urbild in d Komponenten zerfällt, deren Urbilder wiederum usw.. Die Julia-Menge ist der Schnitt all dieser Urbilder.

Julia-Menge von z^3+0,45

Julia-Menge von f(z)=z3+0,45 auf [-1,5;1,5]x[-1,5;1,5]. Man rechnet leicht nach, daß für reelle x>=0 gilt: f(z)>1,01z. Deshalb liegt die ganze positive reelle Achse, und insbesondere der einzige endliche kritische Punkt z in $F_\infty$.

7.4.17 Übung:
Zeige, daß die Julia-Menge von P(z)=z2+c für |c|>2 eine Cantor-Menge ist.

Julia-Menge von z^2-2,2

Julia-Menge von z2-2,2 auf [-2,5;2,5]x[-0,25;0,25]. Es handelt sich um eine rein reelle Cantor-Menge.

by Michael Becker, 7/2003. Letzte Änderung: 7/2003.