Einige Julia-Mengen

Vorbemerkungen

Was sind hier Julia- und Fatou-Mengen?

Hat man eine Funktion f, die ein Gebiet G auf sich selber abbildet, so kann man f iterieren. Die Julia-Menge von f ist dann die Menge aller Punkte aus G, bei denen diese Folge der iterierten Funktionen nicht gleichgradig stetig ist. Die Fatou-Menge ist ihr Komplement. Lax ausgedrückt untersucht man also, was die iterierten Funktionen mit nahe beieinanderliegenden Punkten machen. Stellen, bei denen Punkte, die nahe beieinanderliegen, auch während der Iteration nahe beieinander bleiben, gehören zur Fatou-Menge. Stellen, an denen Punkte, auch wenn sie noch so nahe sind, durch die Iteration auseinander gerissen werden, gehören zur Julia-Menge.

Im folgenden betrachte ich nur Funktionen, die die Riemannsche Zahlensphäre, d.h. die komplexen Zahlen einschließlich eines idealen Punktes "Unendlich", auf sich abbilden. Die Julia-Mengen sind weiß, die Fatou-Mengen schwarz dargestellt.

Was hat das mit den "üblichen" Julia-Mengen zu tun?

Im Internet finden sich viele Bilder von Julia-Mengen von Polynomen, insbesondere von welchen der Form z2+c, mit einer komplexen Konstante c. In diesen Darstellungen wird die Julia-Menge definiert als die Menge aller Punkte, deren Iterierte nicht gegen Unendlich gehen, sondern beschränkt bleiben. Das Problem mit dieser Definition ist, daß man sie ernsthaft nur auf Funktionen anwenden kann, bei denen Unendlich ein anziehender Fixpunkt ist, d.h. bei denen es überhaupt Punkte gibt, deren Iterierte gegen Unendlich gehen. Anderenfalls wird meist nicht einmal eine fraktale Menge herauskommen.

Man kann zeigen, daß der Rand der auf diese Weise erzeugten Mengen für Polynome mit der Julia-Menge, wie sie hier definiert wurde, übereinstimmt. Allerdings kann man das Verfahren nur für Polynome, nicht für andere Funktionen anwenden.

Fixpunkte

Eine wichtige Hilfe zur Orientierung eines Betrachters von Julia-Mengen sind Fixpunkte der Funktion f. Man unterscheidet zwischen anziehenden Fixpunkten (|f'|<1), abstoßenden Fixpunkten (|f'|>1) und indifferenten Fixpunkten (|f'|=1). Anziehende Fixpunkte liegen immer in der Fatou-Menge, abstoßende immer in der Julia-Menge. Indifferente Fixpunkte können in der einen oder anderen liegen.

(2cz^3+2z^2)/(z^3+3cz^2-z+c), c=(1+i)/2

f(z)=(2cz3+2z2)/(z3+3cz2-z+c) mit c=(1+i)/2, dargestellt auf [-3,5;1]×[-2;2]

Die Funktion hat 4 Fixpunkte: -1, 0, 1 und -c. Die ersten drei davon sind anziehend (die Ableitung von f ist dort Null), der vierte ist abstoßend. Man kann schön sehen, wie jeder der anziehenden Fixpunkte in seiner eigenen Komponente der Fatou-Menge liegt, während der abstoßene Fixpunkt in der Julia-Menge liegt. Der Punkt Unendlich gehört zum Einzugsbereich des Fixpunktes 1.

z^2+c, c=-0,2-0,7i

f(z)=z2+c mit c=-0,2-0,7i, dargestellt auf [-1,8;1,8]×[-1,8;1,8]

Zu dieser sehr schönen Julia-Menge, die etwas an einen chinesischen Drachen erinnert, gibt es eigentlich nicht besonders viel zu sagen. Die Funktion hat zwei abstoßende Fixpunkte, nämlich am rechten Ende (ca. 1,3+0,437i) und in der linken, großen Spirale (ca. -0,3-0,437i). Unendlich ist wie bei allen Polynomen ein anziehender Fixpunkt. Alle Komponenten der Fatou-Menge sind einfach zusammenhängend.

z^3+1,55z^2

f(z)=z3+1,55z2, dargestellt auf [-2,5;1]×[-2;2].

Dies ist ein Beispiel dafür, daß die Zusammenhangskomponenten der Julia-Mengen auch Jordan-Kurven sein können. Die Funktion hat 4 Fixpunkte, zwei anziehende bei Unendlich und 0, und zwei abstoßende ebenfalls auf der rellen Achse. Diese letzten sind der rechteste und der linkeste Punkt der Julia-Menge auf der reellen Achse.

(z^5-(0,1+0,07i)z+0,09)/z^3

f(z)=(z5-(0,1+0,07i)z+0,09)/z3, dargestellt auf [-1,5;1,5]×[-1,5;1,5].

Die Julia-Mengen dieser und ähnlicher Funktionen reagieren ziemlich empfindlich auf Veränderung der Parameter. Ich habe diese Menge hier nur aufgenommen, weil sie fast wie ein ziemlich verworrener Schriftzug aussieht. Soweit ich das beurteilen kann, handelt es sich um eine einzige große Jordankurve.

(-4,0004z^5+0,005(1-i))/(-4iz^4+0,001i)

f(z)=(-4,0004z5+0,005(1-i))/(-4iz4+0,001i) dargestellt auf [-1;1]×[-1;1].

Diese Funktion ist via g(z)=(1+i)z konjugiert zu f2(z)=(1,0001z5+0,01)/(iz4+0,001i). Unendlich ist ein anziehender Fixpunkt. Deshalb gehen die vier Strahlen nicht ins Unendliche, sondern enden tatsächlich irgendwo.

f(z)=(z3+c)/z mit c=0,001, dargestellt auf [-1,5;1,5]×[-1,5;1,5].

Das, was hier aussieht wie sich verzweigende Äste, besteht in Wirklichkeit aus einem Mosaik von kleinen schwarzen Flächen. So liegt beispielsweise auch der Ursprung nicht in der Julia-Menge, denn an ihm befindet sich ein Pol. Seine Komponente der Fatou-Menge fängt auf der negativen reellen Achse bei ca. -c an. Um dies zu sehen, reicht allerdings die Auflösung des Bildes nicht aus: Der Abstand zwischen -c und 0 beträgt 1/4 Pixel.

Auch der Punkt -c1/3 liegt nicht in der Julia-Menge, denn dort befindet sich eine Nullstelle. Es ist das Zentrum des etwas größeren Knotens kurz links des Ursprungs. Rechts daneben befindet sich bei ca. -sqrt(c) ein abstoßender Fixpunkt. Also befinden sich auf diesem kleinen Abschnitt sowohl Punkte der Julia-, als auch der Fatou-Menge. Und dieser kleine Abschnitt ist eines der Urbilder der gesamten negativen reellen Achse. Also: Auch wenn er auf dem Bild weiß ist, sieht er im Detail genauso aus wie die negative reelle Achse.

Würde man c größer machen, so würden die weißen Striche immer breiter und mosaikartiger werden, und die schwarzen Flecke immer runder. Ähnlich, wie man es auf dem übernächsten Bild sieht.

(z^3+c)/(dz), c=0,001, d=0,95-0,31225i

f(z)=(z3+c)/(dz) mit c=0,001 und d=0,95-0,31225i, dargestellt auf [-1,5;1,5]×[-1,5;1,5].

d ist eine komplexe Zahl, deren Betrag ungefähr 1 ist. Sie sorgt dafür, daß sich die Dreiecke im letzten Bild ein wenig zur Seite gedreht haben. Da ihre Spitzen dann nicht mehr direkt aufeinander zu laufen, drehen sie sich stattdessen ineinander ein.

(z^2+c)/(z^2-c), c=0,7

f(z)=(z2+c)/(z2-c) mit c=0,7, dargestellt auf [-2;2]×[-2;2].

Bemerkenswert an dieser Julia-Menge ist, daß sie aus lauter glatten, fast kreisartigen Jordan-Kurven zu bestehen scheint. Ich sage "scheint", denn ich weiß es nicht.

(z^3+c)/(z^3-c), c=0,45

f(z)=(z3+c)/(z3-c) mit c=0,45, dargestellt auf [-2;2]×[-2;2]

(z^5+c)/z^3, c=0,001(?)

f(z)=(z5+c)/z3 mit c=0,001(?), dargestellt auf [-1,5;1,5]×[-1,5;1,5].

Bisher hatten wir nur Fatou-Mengen, deren Komponenten einfach oder unendlichfach zusammenähängend waren. Es gibt jedoch auch Fatou-Mengen mit doppelt oder mehrfach zusammenhängenden Komponenten. Auf diesem Bild ist natürlich keine solche zu sehen. Macht man aber den Parameter c kleiner, so werden die kleinen, ganz im Bild zu sehenden Komponenten immer größer, bis sie sich schließlich zu ringförmig um den Ursprung laufenden Komponenten zusammenschließen. (Dies ist z.B. bereits für c=0,00001 der Fall.) Schließlich geht die Julia-Menge über eine eine Cantor-Menge von konzentrischen Kreisen um den Ursprung. Die entsprechenden Bilder sind allerdings meiner Meinung nach nicht besonders ansprechend. Deshalb habe ich mich hier mit einer "normalen" Julia-Menge begnügt.

(z^3+(0,5+0,78i)z)/(z+1)

f(z)=(z3+(0,5+0,78i)z)/(z+1), dargestellt auf [-1,5;2]×[-2;1,5]

2/3*(z^3+2z-2)/z

f(z)=2/3*(z3-2)/z, dargestellt auf [-2;2]×[-2;2]

Auch ein Sierpinsky-Dreieck kommt als Julia-Menge vor. Die kritischen Punkte sind genau die negativen dritten Einheitswurzeln. Dies sind die "Seiten-Mittelpunkte" des Dreiecks. Ihre Funktionswerte sind die genau die Eckpunkte des Dreiecks. Die rechte Ecke (2) ist ein abstoßender Fixpunkt. Die beiden anderen Ecken bilden einen abstoßenden Zykel der Periode 2.

Verändert man die in f(z) vorkommenden Parameter, so zerfällt die Julia-Menge in eine Cantor-Menge, oder die Verbindungsstücke, die hier aus nur einem Punkt bestehen, wachsen aus.

2/3*(z^3+2z-2)/z

f(z)=2/3*(z3+2z-2)/z, dargestellt auf [-2,5;2,5]×[-2,5;2,5]

by Michael Becker, 6/2003. Letzte Änderung: 2/2004.