Einige Julia-Mengen 2

Statt einer Vorbemerkung

Vorbemerkungen und einige kurze Erklärungen befinden sich auf der Seite "Einige Julia-Mengen 1".

z^4/(z^8+c), c=0,01

f(z)=z4/(z8+c) mit c=0,01, dargestellt auf [-1,4;1,4]x[-1,4;1,4].

Die Funktion hat anziehende Fixpunte in 0 und Unendlich. Für sehr kleine c kann man außerdem erwarten, daß die Julia-Menge ungefähr so aussieht wie die von 1/z4, also ähnlich dem Einheitskreis wird. Tatsächlich werden die konzentrischen Jordankurven immer schmaler und immer kreisähnlicher, wenn man c kleiner macht.

Umgekehrt wird die Julia-Menge immer "dicker" und ihre Komponenten immer weniger kreisförmig, wenn man an den Paramtern spielt. Dies kann man auf dem nächsten Bild sehen.

z^4/(0,4z^12+z^8+0,635z^4+0,001)

f(z)=z4/(0,4z12+z8+0.635z4+0,001), dargestellt auf [-1,8;1,8]x[-1,8;1,8].

Wenn man die Parameter nun größer werden läßt, wachsen die "Ausbuchtungen" in der Julia-Menge irgendwann zusammen und die ringförmigen Komponenten der Fatou-Menge verschwinden. (S. nächstes Bild!)

z^4/(0,4z^12+z^8+0,2i)

f(z)=z4/(0,4z12+z8+0,2i), dargestellt auf [-1,7;1,7]x[-1,7;1,7].

(z^3+0,37z-0,04)/z

f(z)=(z3+0,37z-0,04)/z, dargestellt auf [-1,7;1,7]x[-1,7;1,7].

Diese Menge habe ich nur aufgenommen, weil sie wie eine Ansammlung von Gnom-Füßen aussieht.

z^6+1,01*z

f(z)=z6+1,01*z, dargestellt auf [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2].

Die Julia-Menge der Funktion z6+z sieht fast genauso aus. Dies ist ein Beispiel für das "Blütenblätter-Theorem": Hat eine Funktion um 0 die Taylor-Entwicklung z+zp+1+..., so gibt es um den Ursprung herum p Komponenten der Fatou-Menge, die ungefähr wie Blütenblätter aussehen. Details kann man dem Abschnitt "rational indifferente periodische Punkte" des mathematischen Teils dieser Seite entnehmen.

Ich habe hier die Funktion lediglich numerisch etwas gutartiger gemacht, indem ich dafür gesorgt habe, daß die Ableitung im Ursprung ein wenig größer ist. Wäre die originale Ableitung dagegen nicht 1 gewesen, sondern eine andere komplexe Zahl vom Betrag 1, so hätte dieser kleine Faktor ausgereicht, um ein ganz anderes Bild zu erzeugen.

z^5+a*e^(it)*z, a=1,0001, t=Pi/1000

f(z)=z5+a*eit*z mit a=1,0001 und t=Pi/1000 dargestellt auf [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2].

Hier sieht man, daß, wenn man die Ableitung am Fixpunkt nur ganz leicht ändert, sich u.U. ein völlig anderes Bild in der Nähe des Fixpunktes ergeben kann.

z^5+a*e^(2Pi*i/g)*z, a=1,0001, g=(sqrt(5)-1)/2

f(z)=z5+a*e2Pi*i/g*z mit a=1,0001 und g=(sqrt(5)-1)/2, dargestellt auf [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2].

(z^3-z+a)/z = (z^2-1)+a/z, a=0,0003i

f(z)=(z3-z+a)/z = (z2-1)+a/z mit a=0,0003i, dargestellt auf [-1,7;1,7]x[-1,7;1,7].

Diese Julia-Menge sieht fast so aus, wie die von z2-1. Durch den kleinen Störterm a/z wird ähnlich wie auf einigen Bildern auf Seite 1 dafür gesorgt, daß sich das Innere derjenigen Komponenten der Fatou-Menge, die auf die Komponente, die die 0 enthält, abgebildet werden, mit einem feinen Gespinst füllt. Das sind in diesem Fall alle Komponenten außer die unbeschränkte Komponente.

(z^8+z^4+0,01)/z

f(z)=(z8+z4+0,01)/z= z7+z3+0,01/z, dargestellt auf [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2].

Auch hierbei handelt es sich um ein Bild mit einem solchen Störterm.

by Michael Becker, 8/2003. Letzte Änderung: 8/2003.