Einige Julia-Mengen 4

Statt einer Vorbemerkung

Vorbemerkungen und einige kurze Erklärungen befinden sich auf der Seite "Einige Julia-Mengen 1".

z/(z^4+6z+1,001)

f(z)=z/(z4+6z+1,001), dargestellt auf [-5;5]x[-5;5].

(z^3-z)/(dz^2+1) mit d=-0,7+i

f(z)=(z3-z)/(dz2+1) mit d=-0,7+i, dargestellt auf [-10;10]x[-10;10].

Die Funktion hat vier Fixpunkte. Darunter 0 und Unendlich. Unendlich ist ein abstoßender Fixpunkt, und die Funktion verhält sich in der Nähe ungefähr wie z->z/d, weshalb eine weitläufige Spirale von Unendlich weggeht. Der Fixpunkt 0 hat die Ableitung -1. Es handelt sich damit um einen rational indifferenten Fixpunkt, in dessen Umgebung sich zwei "Blütenblätter" befinden. Deshalb gibt es in einer Umgebung der 0 keine Spirale.

(z^3-z)/(dz^2+1) mit d=-0,003+0,995i

f(z)=(z3-z)/(dz2+1) mit d=-0,003+0,995i, dargestellt auf [-7;7]x[-7;7].

Hier ist der Betrag von d kleiner als 1, weshalb Unendlich in der Fatou-Menge liegt. Bei 0 liegen wieder die beiden Blütenblätter. In der Nähe von Unendlich verhält sich die Funktion ungefähr wie z->-iz, weshalb die Anzahl der Spiralen, die in Richtung Unendlich laufen, genau 4 beträgt. Vermutlich bilden die vier Drehpunkte der Spiralen einen abstoßenden Zykel der Periode 4.

(z^3-z)/(dz^2+1) mit d=1,001*e^(2pi/30)

f(z)=(z3-z)/(dz2+1) mit d=1,001· e2Pi/30, dargestellt auf [-9;9]x[-9;9].

Der Faktor 1,001· e2Pi/30 sorgt hier dafür, daß es genau 30 Ausläufer gibt, die Richtung Unendlich laufen, dann aber irgendwo im Nichts enden. Durch die Ausläufer und die wurmartig gekrümmte Form ähnelt die Julia-Menge einem Vielborster (d.h. einem Ringelwurm der Ordnung Errantia).

(z^3-z)/(dz^2+1) mit d=1,0001*e^(2pi*0,61)

f(z)=(z3-z)/(dz2+1) mit d=1,0001· e2Pi· 0,61, dargestellt auf [-4;4]x[-4;4].

0,61 läßt sich als gekürzter Bruch höchstens als 61/100 schreiben. Deshalb sollte es auf diesem Bild genau 100 Ausläufer gegen Unendlich geben. Gezählt habe ich sie aber nicht.

(z^5-z)/(20z^2+1)

f(z)=(z5-z)/(20z2+1), dargestellt auf [-5;5]x[-5;5].

z^2/(z^9-z+0,025)

f(z)=z2/(z9-z+0,025), dargestellt auf [-2;2]x[-2;2].

z^2/(z^9+2z+0,05)

f(z)=z2/(z9+2z+0,05), dargestellt auf [-2;2]x[-2;2].

z^2/(z^9+2z+0,001)

f(z)=z2/(z9+2z+0,001), dargestellt auf [-3,5;3,5]x[-3,5;3,5].

(z^2+a)/(z^2+b) mit a=-0,2+0,7i und b=0,917

f(z)=(z2+a)/(z2+b) mit a=-0,2+0,7i und b=0,917, dargestellt auf [-2;2]x[-2;2].

(az^+b)/(z^2+b) mit a=1,005+0,002i und b=0,1

f(z)=(az3+b)/(z2+b) mit a=1,005+0,002i und b=0,1, dargestellt auf [-5;5]x[-5;5].

Hier kann man sehen, daß manche Julia-Mengen eindeutig männlich sind.

(z^3-0,99)/(0,01z^3+0,999z^2-0,999i)

f(z)=(z3-0,99)/(0,01z3+0,999z2-0,999i), dargestellt auf [-8;8]x[-12;4].

Manche Julia-Mengen sind naß.

by Michael Becker, 10/2004. Letzte Änderung: 10/2004.