Stetigkeit/Unstetigkeit

Bekanntermaßen gibt es reelle Funktionen, die auf der Menge Q der rationalen Zahlen unstetig sind, und auf der Menge der irrationalen Zahlen stetig. Hier werden wir die Frage beantworten, ob es auch Funktionen gibt, die auf Q stetig sind, und unstetig ansonsten. Die Antwort ist "Nein" (Behauptung 3). Vorher stelle ich noch kurz die bekannten Funktionen des klassischen Problems dar.

1 Definition:
Die Funktion

Dirac-Funktion

heißt "Diracsche Funktion".

Eine beliebte Übungsaufgabe zur Vorlesung Infinitesimalrechnung I (Analysis I) ist es, zu zeigen, daß fd genau auf Q unstetig ist, und auf [0,1]-Q stetig. Dies zeige ich hier nicht mehr. Etwas ähnliches kann man mit allen abzählberen Mengen machen.

Im folgenden sei I := [0,1].

2 Behauptung:

Ist AsubsetI eine abzählbare Menge, A=(an)n in IN (an paarweise verschieden), so ist die Funktion

abgewandelte Dirac-Funktion

stetig auf I-A und unstetig auf A.

Beweis:

A kann kein offenes Teilintervall von I enthalten. In jeder Umgebung von jedem an gibt es also Punkte aus I-A. f kann deshalb in an nicht stetig sein.

Ist umgekehrt lim a_n_k=a\not in A, so muß nk gegen Unendlich gehen. Damit gilt

lim f(a_n_k)=f(a)

Deshalb ist f bei a stetig. Ist a not inA und gibt es keine solche Folge, so ist die Stetigkeit bei a ebenso klar.

3 Behauptung:

Es sei QI:=I capQ. Es gibt dann keine Funktion f:I->IR, die auf QI stetig ist, und auf I-QI unstetig.

Beweis:

f:I->IR sei eine Funktion, die auf QI stetig ist. Wir wollen zeigen, daß es einen Punkt x in I-QI gibt, bei dem f ebenfalls stetig ist. Dazu sei x1 in QI beliebig. Da f bei x1 stetig ist, gibt es ein offenes Intervall I1, das x1 enthält, und für das gilt:

x in I1   =>   |f(x)-f(x1)| < 1

Man wähle nun k1 so, daß

...

Auch x2 ist rational, und es ist x2 in I1. Wir konstruieren nun xn, kn und In mit folgenden Eigenschaften:

  1. xn in Incap Q
  2. Abschluß von I_n subsetIn-1
  3. |f(x)-f(xn)| <  1/n für x in In
  4. kn>kn-1
  5. xn=xn-1+1/10^(kn-1!)
  6. (xn-2/10^(kn!), xn+2/10^(kn!)) subset In

Nun sei induktiv schon xn, kn-1, In-1 konstruiert. Wir suchen xn+1, kn und In. Aus Bedingung (5) (für n) und Bedingung (6) (für n-1) folgt, daß xn in In-1 ist.

f ist stetig bei xn, da xn rational ist. Wir wählen ein offenes Intervall In, das xn enthält, mit Abschluß von I_n subsetIn-1, und zwar so klein, daß |f(x)-f(xn)|<1/n für x in In. Dann wählen wir kn so groß, daß Bedingungen (4) und (6) erfüllt sind.

Wir setzen wieder xn+1=xn+1/10^(kn!). Mit xn ist damit auch xn+1 rational. Damit sind alle sechs Bedingungen erfüllt.

Nun ist x_n=x_1+\sum(1/10^k_i!. Diese Reihe ist wegen kn+1>kn konvergent und x:=lim(xn) ist irrational (z.B. weil die Dezimaldarstellung der Summe weder abbrechend noch periodisch sein kann).

Nun zeigen wir, daß f an dieser Stelle x stetig ist. epsilon>0 sei also gegeben. Wir wählen ein N so, daß 1/N<epsilon/2. Wegen xn in In und In+1 subsetIn ist {x}=cap Abschluß von I_n. Da nach Konstruktion sogar Abschluß von I_{n+1} subsetIn gilt, ist damit sogar x in In für alle n, und insbesondere x in IN. Für y in IN gilt:

|f(x)-f(y)|<= |f(x)-f(xn)|+|f(xn)-f(y)|< 2/N<epsilon

Fazit: x besitzt eine offene Umgebung (nämlich IN), auf der |f(x)-f(y)|<epsilon gilt. Dies bedeutet, daß f bei x stetig ist, obwohl x notinQI.

4 Kommentar:

Das ist (für mich) ein einigermaßen überraschendes Ergebnis. Es zeigt, daß stetige Funktionen doch nicht völlig beliebig konstruiert werden können, sondern daß es für die Menge der Unstetigkeitsstellen schwierige Restriktionen gibt. Immerhin aber gilt folgendes:

5 Behauptung:

Es gibt eine Lebesgues-Nullmenge N mit QIsubsetN subsetI und eine Funktion f:I->I, die auf N stetig ist, und auf I-N nicht.

Beweis:

Es sei QI=(an)n in IN eine Abzählung von QI, wobei die an paarweise verschieden seien. Weiter sei

U_k=...

Trivialerweise ist Uk+1subsetUk und

lambda(U_k)=1/2^k

Man setze nun N:=capUk. N ist eine Lebesgues-Nullmenge, welche QI enthält, denn QI ist in jedem Uk enthalten. Wir definieren f:I-> I wie folgt:

f(x)=...

f ist stetig auf N, denn zu x in N und epsilon>0 findet sich ein k in IN mit 1/k<epsilon. Für diejenige Zusammenhangskomponente von Uk, in der x liegt, gilt: |f|<=1/k<epsilon.

f ist nicht stetig auf I-N, denn mit QI liegt auch N dicht in I. Zu gegebenem x in I-N mit f(x)=1/k0 findet man in jeder Umgebung Punkte y mit f(y)=0. Sobald also epsilon<1/k0 ist, läßt sich die Stetigkeitsbedingung nicht mehr erfüllen.

6 Bemerkung

Würde man bei dieser Konstruktion als Intervallänge statt 1/2i z.B. 1/3i oder auch 1/2i^2 etc. nehmen, würde man noch kleinere Nullmengen N bekommen (glaube ich). Die obige Nullmenge ist in diesem Sinne nicht minimal. Egal wie schnell man die Intervalllängen kleiner macht, es wird immer transzendente Zahlen geben, die sich noch schneller durch rationale Zahlen approximieren lassen. Darauf genau beruht die Konstruktion in Beh.2, wo wir eine solche "gut approximierbare" Zahl gesucht haben.

Bei der Konstruktion in Beh.3 haben wir keine speziellen Eigenschaften von QI benötigt, lediglich die Abzählbarkeit und die Dichtheit, und letztere wird nur der Bequemlichkeit halber benutzt. Wäre die Menge nicht dicht, so könnte man die Funktion leicht so abändern, daß die Beh. wieder stimmt.

Diesen Text habe ich ursprüngich Anfang der 90er zu Beginn meines Mathestudium geschrieben. Ich habe zwar jetzt auf Anhieb keine Fehler entdeckt, aber wenn jemand einen relevanten Fehler findet, wäre ich für eine Benachrichtigung dankbar.

by Michael Becker, 5/2003. Letzte Änderung: 5/2003.